解決{l}{2p+3x=10}{p-x+2=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

解 p、x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 p: 將 p 單獨置於等號的左邊。

$$2p+3x=10$$

從方程式兩邊減去 3x。

$$2p=-3x+10$$

將兩邊同時除以 2。

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3x+10。

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

在另一個方程式 p-x+2=0 中以 -\frac{3x}{2}+5 代入 p在方程式。

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

將 -\frac{3x}{2} 加到 -x。

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

將 5 加到 2。

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

從方程式兩邊減去 7。

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{14}{5}$$

在 p=-\frac{3}{2}x+5 中以 \frac{14}{5} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 p。

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

-\frac{3}{2} 乘上 \frac{14}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

將 5 加到 -\frac{21}{5}。

$$p=\frac{4}{5}$$

現已成功解出系統。

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 p 和 x。

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

讓 2p 和 p 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

化簡。

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2p+3x=10 減去 2p-2x+4=0。

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

將 2p 加到 -2p。 2p 和 -2p 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3x+2x-4=10$$

將 3x 加到 2x。

$$5x-4=10$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$5x=14$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{14}{5}$$

在 p-x+2=0 中以 \frac{14}{5} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 p。

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

將 -\frac{14}{5} 加到 2。

$$p-\frac{4}{5}=0$$

將 \frac{4}{5} 加到方程式的兩邊。

$$p=\frac{4}{5}$$

現已成功解出系統。

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$