解決{l}{2p+3m=8}{p+2m=6} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

解 p、m

$$p=-2$$

$$m=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 p: 將 p 單獨置於等號的左邊。

$$2p+3m=8$$

從方程式兩邊減去 3m。

$$2p=-3m+8$$

將兩邊同時除以 2。

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3m+8。

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

在另一個方程式 p+2m=6 中以 -\frac{3m}{2}+4 代入 p在方程式。

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

將 -\frac{3m}{2} 加到 2m。

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

從方程式兩邊減去 4。

$$\frac{1}{2}m=2$$

將兩邊同時乘上 2。

$$m=4$$

在 p=-\frac{3}{2}m+4 中以 4 代入 m。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 p。

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

-\frac{3}{2} 乘上 4。

$$p=-6+4$$

將 4 加到 -6。

$$p=-2$$

現已成功解出系統。

$$p=-2,m=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 p 和 m。

$$p=-2,m=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

讓 2p 和 p 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

化簡。

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2p+3m=8 減去 2p+4m=12。

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

將 2p 加到 -2p。 2p 和 -2p 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3m-4m=8-12$$

將 3m 加到 -4m。

$$-m=8-12$$

將 8 加到 -12。

$$-m=-4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$m=4$$

在 p+2m=6 中以 4 代入 m。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 p。

$$p+2\times 4=6$$

2 乘上 4。

$$p+8=6$$

從方程式兩邊減去 8。

$$p=-2$$

現已成功解出系統。

$$p=-2,m=4$$