解決{l}{2m-3n=130}{-m+5=4n} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4n。

$$-m+5-4n=0$$

從兩邊減去 5。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-m-4n=-5$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$2m-3n=130$$

將 3n 加到方程式的兩邊。

$$2m=3n+130$$

將兩邊同時除以 2。

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 3n+130。

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

在另一個方程式 -m-4n=-5 中以 \frac{3n}{2}+65 代入 m在方程式。

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

-1 乘上 \frac{3n}{2}+65。

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

將 -\frac{3n}{2} 加到 -4n。

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

將 65 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{11}{2}n=60$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{11}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$n=-\frac{120}{11}$$

在 m=\frac{3}{2}n+65 中以 -\frac{120}{11} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

\frac{3}{2} 乘上 -\frac{120}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

將 65 加到 -\frac{180}{11}。

$$m=\frac{535}{11}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4n。

$$-m+5-4n=0$$

從兩邊減去 5。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-m-4n=-5$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4n。

$$-m+5-4n=0$$

從兩邊減去 5。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-m-4n=-5$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

讓 2m 和 -m 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

化簡。

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2m+3n=-130 減去 -2m-8n=-10。

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

將 -2m 加到 2m。 -2m 和 2m 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3n+8n=-130+10$$

將 3n 加到 8n。

$$11n=-130+10$$

將 -130 加到 10。

$$11n=-120$$

將兩邊同時除以 11。

$$n=-\frac{120}{11}$$

在 -m-4n=-5 中以 -\frac{120}{11} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

-4 乘上 -\frac{120}{11}。

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

從方程式兩邊減去 \frac{480}{11}。

$$-m=-\frac{535}{11}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$m=\frac{535}{11}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$