解決{l}{2m-3n=1}{15/9m-2n=1} |Microsoft數學求解器

解 m, n

測驗

Simultaneous Equation

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2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

2m-3n=1

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

2m=3n+1

將 3n 加到方程式的兩邊。

m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)

將兩邊同時除以 2。

m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}

\frac{1}{2} 乘上 3n+1。

\frac{5}{3}\left(\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1

在另一個方程式 \frac{5}{3}m-2n=1 中以 \frac{3n+1}{2} 代入 m在方程式。

\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1

\frac{5}{3} 乘上 \frac{3n+1}{2}。

\frac{1}{2}n+\frac{5}{6}=1

將 \frac{5n}{2} 加到 -2n。

\frac{1}{2}n=\frac{1}{6}

從方程式兩邊減去 \frac{5}{6}。

n=\frac{1}{3}

將兩邊同時乘上 2。

m=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{2}

在 m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} 中以 \frac{1}{3} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

m=\frac{1+1}{2}

\frac{3}{2} 乘上 \frac{1}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

m=1

將 \frac{1}{2} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

m=1,n=\frac{1}{3}

現已成功解出系統。

2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-\frac{5}{3}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+3\\-\frac{5}{3}+2\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)

計算。

m=1,n=\frac{1}{3}

解出矩陣元素 m 和 n。

2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\left(-3\right)n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2

讓 2m 和 \frac{5m}{3} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{5}{3}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。