解決{l}{2m+3n=22}{m-2n=6} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$2m+3n=22$$

從方程式兩邊減去 3n。

$$2m=-3n+22$$

將兩邊同時除以 2。

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3n+22。

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

在另一個方程式 m-2n=6 中以 -\frac{3n}{2}+11 代入 m在方程式。

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

將 -\frac{3n}{2} 加到 -2n。

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

從方程式兩邊減去 11。

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$n=\frac{10}{7}$$

在 m=-\frac{3}{2}n+11 中以 \frac{10}{7} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

-\frac{3}{2} 乘上 \frac{10}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

將 11 加到 -\frac{15}{7}。

$$m=\frac{62}{7}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

讓 2m 和 m 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

化簡。

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2m+3n=22 減去 2m-4n=12。

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

將 2m 加到 -2m。 2m 和 -2m 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3n+4n=22-12$$

將 3n 加到 4n。

$$7n=22-12$$

將 22 加到 -12。

$$7n=10$$

將兩邊同時除以 7。

$$n=\frac{10}{7}$$

在 m-2n=6 中以 \frac{10}{7} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

-2 乘上 \frac{10}{7}。

$$m-\frac{20}{7}=6$$

將 \frac{20}{7} 加到方程式的兩邊。

$$m=\frac{62}{7}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$