解決{l}{2m+3n=1}{7m+3n=6} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { 7 m + 3 n = 6 } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m=1$$

$$n=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$2m+3n=1$$

從方程式兩邊減去 3n。

$$2m=-3n+1$$

將兩邊同時除以 2。

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3n+1。

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 7m+3n=6 中以 \frac{-3n+1}{2} 代入 m在方程式。

$$7\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)+3n=6$$

7 乘上 \frac{-3n+1}{2}。

$$-\frac{21}{2}n+\frac{7}{2}+3n=6$$

將 -\frac{21n}{2} 加到 3n。

$$-\frac{15}{2}n+\frac{7}{2}=6$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{2}。

$$-\frac{15}{2}n=\frac{5}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{15}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$n=-\frac{1}{3}$$

在 m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} 中以 -\frac{1}{3} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

-\frac{3}{2} 乘上 -\frac{1}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$m=\frac{1+1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$m=1$$

現已成功解出系統。

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 3-3\times 7}&\frac{2}{2\times 3-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{7}{15}-\frac{2}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2m+3n=1 減去 7m+3n=6。

$$2m-7m+3n-3n=1-6$$

將 3n 加到 -3n。 3n 和 -3n 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2m-7m=1-6$$

將 2m 加到 -7m。

$$-5m=1-6$$

將 1 加到 -6。

$$-5m=-5$$

將兩邊同時除以 -5。

$$m=1$$

在 7m+3n=6 中以 1 代入 m。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 n。

$$7+3n=6$$

從方程式兩邊減去 7。

$$3n=-1$$

將兩邊同時除以 3。

$$n=-\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$