解決{l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$2m+3n=1$$

從方程式兩邊減去 3n。

$$2m=-3n+1$$

將兩邊同時除以 2。

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3n+1。

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 \frac{5}{3}m-2n=1 中以 \frac{-3n+1}{2} 代入 m在方程式。

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

\frac{5}{3} 乘上 \frac{-3n+1}{2}。

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

將 -\frac{5n}{2} 加到 -2n。

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{6}。

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{9}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$n=-\frac{1}{27}$$

在 m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} 中以 -\frac{1}{27} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

-\frac{3}{2} 乘上 -\frac{1}{27} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{1}{18} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$m=\frac{5}{9}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

讓 2m 和 \frac{5m}{3} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{5}{3}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

化簡。

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} 減去 \frac{10}{3}m-4n=2。

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

將 \frac{10m}{3} 加到 -\frac{10m}{3}。 \frac{10m}{3} 和 -\frac{10m}{3} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

將 5n 加到 4n。

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

將 \frac{5}{3} 加到 -2。

$$9n=-\frac{1}{3}$$

將兩邊同時除以 9。

$$n=-\frac{1}{27}$$

在 \frac{5}{3}m-2n=1 中以 -\frac{1}{27} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

-2 乘上 -\frac{1}{27}。

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{27}。

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$m=\frac{5}{9}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$