Solve {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

解 x, y (復數求解)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2ax+by=14$$

從方程式兩邊減去 by。

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

將兩邊同時除以 2a。

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a} 乘上 -by+14。

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

在另一個方程式 -2x+9y=-19 中以 \frac{-by+14}{2a} 代入 x在方程式。

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2 乘上 \frac{-by+14}{2a}。

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

將 \frac{by}{a} 加到 9y。

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

將 \frac{14}{a} 加到方程式的兩邊。

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

將兩邊同時除以 9+\frac{b}{a}。

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

在 x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} 中以 \frac{14-19a}{9a+b} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a} 乘上 \frac{14-19a}{9a+b}。

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

將 \frac{7}{a} 加到 -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}。

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

讓 2ax 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2a。

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

化簡。

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 減去 \left(-4a\right)x+18ay=-38a。

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

將 -4ax 加到 4ax。 -4ax 和 4ax 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

將 -2by 加到 -18ay。

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

將 -28 加到 38a。

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

將兩邊同時除以 -2b-18a。

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

在 -2x+9y=-19 中以 -\frac{-14+19a}{b+9a} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9 乘上 -\frac{-14+19a}{b+9a}。

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

將 \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} 加到方程式的兩邊。

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

解 x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2ax+by=14$$

從方程式兩邊減去 by。

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

將兩邊同時除以 2a。

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a} 乘上 -by+14。

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

在另一個方程式 -2x+9y=-19 中以 \frac{-by+14}{2a} 代入 x在方程式。

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2 乘上 \frac{-by+14}{2a}。

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

將 \frac{by}{a} 加到 9y。

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

將 \frac{14}{a} 加到方程式的兩邊。

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

將兩邊同時除以 9+\frac{b}{a}。

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

在 x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} 中以 \frac{14-19a}{9a+b} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a} 乘上 \frac{14-19a}{9a+b}。

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

將 \frac{7}{a} 加到 -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}。

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

讓 2ax 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2a。

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

化簡。

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 減去 \left(-4a\right)x+18ay=-38a。

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

將 -4ax 加到 4ax。 -4ax 和 4ax 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

將 -2by 加到 -18ay。

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

將 -28 加到 38a。

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

將兩邊同時除以 -2b-18a。

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

在 -2x+9y=-19 中以 -\frac{-14+19a}{b+9a} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9 乘上 -\frac{-14+19a}{b+9a}。

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

將 \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} 加到方程式的兩邊。

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$