解決{l}{2a=3b}{7a+2b=200} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=24$$

$$b=16$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3b。

$$2a-3b=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$2a-3b=0$$

將 3b 加到方程式的兩邊。

$$2a=3b$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

\frac{1}{2} 乘上 3b。

$$a=\frac{3}{2}b$$

在另一個方程式 7a+2b=200 中以 \frac{3b}{2} 代入 a在方程式。

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

7 乘上 \frac{3b}{2}。

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

將 \frac{21b}{2} 加到 2b。

$$\frac{25}{2}b=200$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{25}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=16$$

在 a=\frac{3}{2}b 中以 16 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

\frac{3}{2} 乘上 16。

$$a=24$$

現已成功解出系統。

$$a=24,b=16$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3b。

$$2a-3b=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=24,b=16$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3b。

$$2a-3b=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

讓 2a 和 7a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

化簡。

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 14a-21b=0 減去 14a+4b=400。

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

將 14a 加到 -14a。 14a 和 -14a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-21b-4b=-400$$

將 -21b 加到 -4b。

$$-25b=-400$$

將兩邊同時除以 -25。

$$b=16$$

在 7a+2b=200 中以 16 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$7a+2\times 16=200$$

2 乘上 16。

$$7a+32=200$$

從方程式兩邊減去 32。

$$7a=168$$

將兩邊同時除以 7。

$$a=24$$

現已成功解出系統。

$$a=24,b=16$$