解決{l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

解 a, b

$$a=5$$

$$b=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$2a+3b=4$$

從方程式兩邊減去 3b。

$$2a=-3b+4$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3b+4。

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

在另一個方程式 -2a+3b=-16 中以 -\frac{3b}{2}+2 代入 a在方程式。

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

-2 乘上 -\frac{3b}{2}+2。

$$3b-4+3b=-16$$

將 3b 加到 3b。

$$6b-4=-16$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$6b=-12$$

將兩邊同時除以 6。

$$b=-2$$

在 a=-\frac{3}{2}b+2 中以 -2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

-\frac{3}{2} 乘上 -2。

$$a=3+2$$

將 2 加到 3。

$$a=5$$

現已成功解出系統。

$$a=5,b=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=5,b=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2a+3b=4 減去 -2a+3b=-16。

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

將 3b 加到 -3b。 3b 和 -3b 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2a+2a=4+16$$

將 2a 加到 2a。

$$4a=4+16$$

將 4 加到 16。

$$4a=20$$

將兩邊同時除以 4。

$$a=5$$

在 -2a+3b=-16 中以 5 代入 a。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$-2\times 5+3b=-16$$

-2 乘上 5。

$$-10+3b=-16$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$3b=-6$$

將兩邊同時除以 3。

$$b=-2$$

現已成功解出系統。

$$a=5,b=-2$$