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解 a、b
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2a+3b=4,-2a+3b=-16
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2a+3b=4
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。
2a=-3b+4
從方程式兩邊減去 3b。
a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)
將兩邊同時除以 2。
a=-\frac{3}{2}b+2
\frac{1}{2} 乘上 -3b+4。
-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16
在另一個方程式 -2a+3b=-16 中以 -\frac{3b}{2}+2 代入 a在方程式。
3b-4+3b=-16
-2 乘上 -\frac{3b}{2}+2。
6b-4=-16
將 3b 加到 3b。
6b=-12
將 4 加到方程式的兩邊。
b=-2
將兩邊同時除以 6。
a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2
在 a=-\frac{3}{2}b+2 中以 -2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 a。
a=3+2
-\frac{3}{2} 乘上 -2。
a=5
將 2 加到 3。
a=5,b=-2
現已成功解出系統。
2a+3b=4,-2a+3b=-16
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)
計算。
a=5,b=-2
解出矩陣元素 a 和 b。
2a+3b=4,-2a+3b=-16
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2a+2a+3b-3b=4+16
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 2a+3b=4 減去 -2a+3b=-16。
2a+2a=4+16
將 3b 加到 -3b。 3b 和 -3b 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
4a=4+16
將 2a 加到 2a。
4a=20
將 4 加到 16。
a=5
將兩邊同時除以 4。
-2\times 5+3b=-16
在 -2a+3b=-16 中以 5 代入 a。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 b。
-10+3b=-16
-2 乘上 5。
3b=-6
將 10 加到方程式的兩邊。
b=-2
將兩邊同時除以 3。
a=5,b=-2
現已成功解出系統。