解決{l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 6x+3 時使用乘法分配律。

$$2-y=12x+6+y$$

從兩邊減去 12x。

$$2-y-12x=6+y$$

從兩邊減去 y。

$$2-y-12x-y=6$$

合併 -y 和 -y 以取得 -2y。

$$2-2y-12x=6$$

從兩邊減去 2。

$$-2y-12x=6-2$$

從 6 減去 2 會得到 4。

$$-2y-12x=4$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$x+4-3y=0$$

從兩邊減去 4。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$x-3y=-4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$-2y-12x=4$$

將 12x 加到方程式的兩邊。

$$-2y=12x+4$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 12x+4。

$$y=-6x-2$$

在另一個方程式 -3y+x=-4 中以 -6x-2 代入 y在方程式。

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

-3 乘上 -6x-2。

$$18x+6+x=-4$$

將 18x 加到 x。

$$19x+6=-4$$

從方程式兩邊減去 6。

$$19x=-10$$

將兩邊同時除以 19。

$$x=-\frac{10}{19}$$

在 y=-6x-2 中以 -\frac{10}{19} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

-6 乘上 -\frac{10}{19}。

$$y=\frac{60}{19}-2$$

將 -2 加到 \frac{60}{19}。

$$y=\frac{22}{19}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 6x+3 時使用乘法分配律。

$$2-y=12x+6+y$$

從兩邊減去 12x。

$$2-y-12x=6+y$$

從兩邊減去 y。

$$2-y-12x-y=6$$

合併 -y 和 -y 以取得 -2y。

$$2-2y-12x=6$$

從兩邊減去 2。

$$-2y-12x=6-2$$

從 6 減去 2 會得到 4。

$$-2y-12x=4$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$x+4-3y=0$$

從兩邊減去 4。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$x-3y=-4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 6x+3 時使用乘法分配律。

$$2-y=12x+6+y$$

從兩邊減去 12x。

$$2-y-12x=6+y$$

從兩邊減去 y。

$$2-y-12x-y=6$$

合併 -y 和 -y 以取得 -2y。

$$2-2y-12x=6$$

從兩邊減去 2。

$$-2y-12x=6-2$$

從 6 減去 2 會得到 4。

$$-2y-12x=4$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$x+4-3y=0$$

從兩邊減去 4。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$x-3y=-4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

讓 -2y 和 -3y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

化簡。

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6y+36x=-12 減去 6y-2x=8。

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

將 6y 加到 -6y。 6y 和 -6y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$36x+2x=-12-8$$

將 36x 加到 2x。

$$38x=-12-8$$

將 -12 加到 -8。

$$38x=-20$$

將兩邊同時除以 38。

$$x=-\frac{10}{19}$$

在 -3y+x=-4 中以 -\frac{10}{19} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

將 \frac{10}{19} 加到方程式的兩邊。

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=\frac{22}{19}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$