\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) + 3 } \end{array} \right.
解 x、y
x=-4
y=-2
圖表
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2x+6=3\left(y+1\right)+1
考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 x+3 時使用乘法分配律。
2x+6=3y+3+1
計算 3 乘上 y+1 時使用乘法分配律。
2x+6=3y+4
將 3 與 1 相加可以得到 4。
2x+6-3y=4
從兩邊減去 3y。
2x-3y=4-6
從兩邊減去 6。
2x-3y=-2
從 4 減去 6 會得到 -2。
3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3
考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 x-y-1 時使用乘法分配律。
3x-3y-3=2x-4+3
計算 2 乘上 x-2 時使用乘法分配律。
3x-3y-3=2x-1
將 -4 與 3 相加可以得到 -1。
3x-3y-3-2x=-1
從兩邊減去 2x。
x-3y-3=-1
合併 3x 和 -2x 以取得 x。
x-3y=-1+3
新增 3 至兩側。
x-3y=2
將 -1 與 3 相加可以得到 2。
2x-3y=-2,x-3y=2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x-3y=-2
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=3y-2
將 3y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)
將兩邊同時除以 2。
x=\frac{3}{2}y-1
\frac{1}{2} 乘上 3y-2。
\frac{3}{2}y-1-3y=2
在另一個方程式 x-3y=2 中以 \frac{3y}{2}-1 代入 x在方程式。
-\frac{3}{2}y-1=2
將 \frac{3y}{2} 加到 -3y。
-\frac{3}{2}y=3
將 1 加到方程式的兩邊。
y=-2
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{3}{2}\left(-2\right)-1
在 x=\frac{3}{2}y-1 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-3-1
\frac{3}{2} 乘上 -2。
x=-4
將 -1 加到 -3。
x=-4,y=-2
現已成功解出系統。
2x+6=3\left(y+1\right)+1
考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 x+3 時使用乘法分配律。
2x+6=3y+3+1
計算 3 乘上 y+1 時使用乘法分配律。
2x+6=3y+4
將 3 與 1 相加可以得到 4。
2x+6-3y=4
從兩邊減去 3y。
2x-3y=4-6
從兩邊減去 6。
2x-3y=-2
從 4 減去 6 會得到 -2。
3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3
考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 x-y-1 時使用乘法分配律。
3x-3y-3=2x-4+3
計算 2 乘上 x-2 時使用乘法分配律。
3x-3y-3=2x-1
將 -4 與 3 相加可以得到 -1。
3x-3y-3-2x=-1
從兩邊減去 2x。
x-3y-3=-1
合併 3x 和 -2x 以取得 x。
x-3y=-1+3
新增 3 至兩側。
x-3y=2
將 -1 與 3 相加可以得到 2。
2x-3y=-2,x-3y=2
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-2\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)
計算。
x=-4,y=-2
解出矩陣元素 x 和 y。
2x+6=3\left(y+1\right)+1
考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 x+3 時使用乘法分配律。
2x+6=3y+3+1
計算 3 乘上 y+1 時使用乘法分配律。
2x+6=3y+4
將 3 與 1 相加可以得到 4。
2x+6-3y=4
從兩邊減去 3y。
2x-3y=4-6
從兩邊減去 6。
2x-3y=-2
從 4 減去 6 會得到 -2。
3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3
考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 x-y-1 時使用乘法分配律。
3x-3y-3=2x-4+3
計算 2 乘上 x-2 時使用乘法分配律。
3x-3y-3=2x-1
將 -4 與 3 相加可以得到 -1。
3x-3y-3-2x=-1
從兩邊減去 2x。
x-3y-3=-1
合併 3x 和 -2x 以取得 x。
x-3y=-1+3
新增 3 至兩側。
x-3y=2
將 -1 與 3 相加可以得到 2。
2x-3y=-2,x-3y=2
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2x-x-3y+3y=-2-2
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-3y=-2 減去 x-3y=2。
2x-x=-2-2
將 -3y 加到 3y。 -3y 和 3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
x=-2-2
將 2x 加到 -x。
x=-4
將 -2 加到 -2。
-4-3y=2
在 x-3y=2 中以 -4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
-3y=6
將 4 加到方程式的兩邊。
x=-4,y=-2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}