解決{l}{16m+50n=55}{2m+4n=5} |Microsoft數學求解器

解 m、n

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16m+50n=55,2m+4n=5

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

16m+50n=55

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

16m=-50n+55

從方程式兩邊減去 50n。

m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)

將兩邊同時除以 16。

m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}

\frac{1}{16} 乘上 -50n+55。

2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5

在另一個方程式 2m+4n=5 中以 -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} 代入 m在方程式。

-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5

2 乘上 -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}。

-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5

將 -\frac{25n}{4} 加到 4n。

-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}

從方程式兩邊減去 \frac{55}{8}。

n=\frac{5}{6}

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{9}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}

在 m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16} 中以 \frac{5}{6} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}

-\frac{25}{8} 乘上 \frac{5}{6} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

m=\frac{5}{6}

將 \frac{55}{16} 與 -\frac{125}{48} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}

現已成功解出系統。

16m+50n=55,2m+4n=5

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)

計算。

m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}

解出矩陣元素 m 和 n。

16m+50n=55,2m+4n=5

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5

讓 16m 和 2m 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 16。

32m+100n=110,32m+64n=80

化簡。

32m-32m+100n-64n=110-80