解決{l}{125x+110y=6100}{x+y=50} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=40$$

$$y=10$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$125x+110y=6100$$

從方程式兩邊減去 110y。

$$125x=-110y+6100$$

將兩邊同時除以 125。

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

\frac{1}{125} 乘上 -110y+6100。

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

在另一個方程式 x+y=50 中以 -\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} 代入 x在方程式。

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

將 -\frac{22y}{25} 加到 y。

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

從方程式兩邊減去 \frac{244}{5}。

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{25}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=10$$

在 x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5} 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

-\frac{22}{25} 乘上 10。

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

將 \frac{244}{5} 與 -\frac{44}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=40$$

現已成功解出系統。

$$x=40,y=10$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=40,y=10$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

讓 125x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 125。

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

化簡。

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 125x+110y=6100 減去 125x+125y=6250。

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

將 125x 加到 -125x。 125x 和 -125x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$110y-125y=6100-6250$$

將 110y 加到 -125y。

$$-15y=6100-6250$$

將 6100 加到 -6250。

$$-15y=-150$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=10$$

在 x+y=50 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+10=50$$

從方程式兩邊減去 10。

$$x=40$$

現已成功解出系統。

$$x=40,y=10$$