解決{l}{12=a+b}{2=6a+b} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 12 = a + b } \\ { 2 = 6 a + b } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=-2$$

$$b=14$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$a+b=12$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$6a+b=2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a+b=12,6a+b=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a+b=12$$

從方程式兩邊減去 b。

$$a=-b+12$$

在另一個方程式 6a+b=2 中以 -b+12 代入 a在方程式。

$$6\left(-b+12\right)+b=2$$

6 乘上 -b+12。

$$-6b+72+b=2$$

將 -6b 加到 b。

$$-5b+72=2$$

從方程式兩邊減去 72。

$$-5b=-70$$

將兩邊同時除以 -5。

$$b=14$$

在 a=-b+12 中以 14 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-14+12$$

將 12 加到 -14。

$$a=-2$$

現已成功解出系統。

$$a=-2,b=14$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$a+b=12$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$6a+b=2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a+b=12,6a+b=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-6}&-\frac{1}{1-6}\\-\frac{6}{1-6}&\frac{1}{1-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{6}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{6}{5}\times 12-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\14\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=-2,b=14$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$a+b=12$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$6a+b=2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$a+b=12,6a+b=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 a+b=12 減去 6a+b=2。

$$a-6a+b-b=12-2$$

將 b 加到 -b。 b 和 -b 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$a-6a=12-2$$

將 a 加到 -6a。

$$-5a=12-2$$

將 12 加到 -2。

$$-5a=10$$

將兩邊同時除以 -5。

$$a=-2$$

在 6a+b=2 中以 -2 代入 a。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$6\left(-2\right)+b=2$$

6 乘上 -2。

$$-12+b=2$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$b=14$$

現已成功解出系統。

$$a=-2,b=14$$