解決{l}{11x+19y=25}{19x+11y=15} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$11x+19y=25$$

從方程式兩邊減去 19y。

$$11x=-19y+25$$

將兩邊同時除以 11。

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

\frac{1}{11} 乘上 -19y+25。

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

在另一個方程式 19x+11y=15 中以 \frac{-19y+25}{11} 代入 x在方程式。

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

19 乘上 \frac{-19y+25}{11}。

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

將 -\frac{361y}{11} 加到 11y。

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

從方程式兩邊減去 \frac{475}{11}。

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{240}{11}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{31}{24}$$

在 x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11} 中以 \frac{31}{24} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

-\frac{19}{11} 乘上 \frac{31}{24} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

將 \frac{25}{11} 與 -\frac{589}{264} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{1}{24}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

讓 11x 和 19x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 19，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 11。

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

化簡。

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 209x+361y=475 減去 209x+121y=165。

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

將 209x 加到 -209x。 209x 和 -209x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$361y-121y=475-165$$

將 361y 加到 -121y。

$$240y=475-165$$

將 475 加到 -165。

$$240y=310$$

將兩邊同時除以 240。

$$y=\frac{31}{24}$$

在 19x+11y=15 中以 \frac{31}{24} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

11 乘上 \frac{31}{24}。

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

從方程式兩邊減去 \frac{341}{24}。

$$19x=\frac{19}{24}$$

將兩邊同時除以 19。

$$x=\frac{1}{24}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$