解決{l}{11a+6b=62}{8a+10b=62} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 a + 6 b = 62 } \\ { 8 a + 10 b = 62 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=4$$

$$b=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$11a+6b=62,8a+10b=62$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$11a+6b=62$$

從方程式兩邊減去 6b。

$$11a=-6b+62$$

將兩邊同時除以 11。

$$a=\frac{1}{11}\left(-6b+62\right)$$

\frac{1}{11} 乘上 -6b+62。

$$a=-\frac{6}{11}b+\frac{62}{11}$$

在另一個方程式 8a+10b=62 中以 \frac{-6b+62}{11} 代入 a在方程式。

$$8\left(-\frac{6}{11}b+\frac{62}{11}\right)+10b=62$$

8 乘上 \frac{-6b+62}{11}。

$$-\frac{48}{11}b+\frac{496}{11}+10b=62$$

將 -\frac{48b}{11} 加到 10b。

$$\frac{62}{11}b+\frac{496}{11}=62$$

從方程式兩邊減去 \frac{496}{11}。

$$\frac{62}{11}b=\frac{186}{11}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{62}{11}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=3$$

在 a=-\frac{6}{11}b+\frac{62}{11} 中以 3 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{6}{11}\times 3+\frac{62}{11}$$

-\frac{6}{11} 乘上 3。

$$a=\frac{-18+62}{11}$$

將 \frac{62}{11} 與 -\frac{18}{11} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=4$$

現已成功解出系統。

$$a=4,b=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$11a+6b=62,8a+10b=62$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}11&6\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\62\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}11&6\\8&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&6\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&6\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&6\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\62\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&6\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\62\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&6\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\62\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11\times 10-6\times 8}&-\frac{6}{11\times 10-6\times 8}\\-\frac{8}{11\times 10-6\times 8}&\frac{11}{11\times 10-6\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\62\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&-\frac{3}{31}\\-\frac{4}{31}&\frac{11}{62}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\62\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 62-\frac{3}{31}\times 62\\-\frac{4}{31}\times 62+\frac{11}{62}\times 62\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=4,b=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$11a+6b=62,8a+10b=62$$

讓 11a 和 8a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 11。

$$8\times 11a+8\times 6b=8\times 62,11\times 8a+11\times 10b=11\times 62$$

化簡。

$$88a+48b=496,88a+110b=682$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 88a+48b=496 減去 88a+110b=682。

$$88a-88a+48b-110b=496-682$$

將 88a 加到 -88a。 88a 和 -88a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$48b-110b=496-682$$

將 48b 加到 -110b。

$$-62b=496-682$$

將 496 加到 -682。

$$-62b=-186$$

將兩邊同時除以 -62。

$$b=3$$

在 8a+10b=62 中以 3 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$8a+10\times 3=62$$

10 乘上 3。

$$8a+30=62$$

從方程式兩邊減去 30。

$$8a=32$$

將兩邊同時除以 8。

$$a=4$$

現已成功解出系統。

$$a=4,b=3$$