解決{l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 6y。

$$10x+y-6y=5$$

合併 y 和 -6y 以取得 -5y。

$$10x-5y=5$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 10x。

$$10y+x-10x=y+27$$

合併 x 和 -10x 以取得 -9x。

$$10y-9x=y+27$$

從兩邊減去 y。

$$10y-9x-y=27$$

合併 10y 和 -y 以取得 9y。

$$9y-9x=27$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$10x-5y=5$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$10x=5y+5$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

\frac{1}{10} 乘上 5+5y。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 -9x+9y=27 中以 \frac{1+y}{2} 代入 x在方程式。

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

-9 乘上 \frac{1+y}{2}。

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

將 -\frac{9y}{2} 加到 9y。

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

將 \frac{9}{2} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{9}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=7$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2} 乘上 7。

$$x=\frac{7+1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{7}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=7$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 6y。

$$10x+y-6y=5$$

合併 y 和 -6y 以取得 -5y。

$$10x-5y=5$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 10x。

$$10y+x-10x=y+27$$

合併 x 和 -10x 以取得 -9x。

$$10y-9x=y+27$$

從兩邊減去 y。

$$10y-9x-y=27$$

合併 10y 和 -y 以取得 9y。

$$9y-9x=27$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=7$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 6y。

$$10x+y-6y=5$$

合併 y 和 -6y 以取得 -5y。

$$10x-5y=5$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 10x。

$$10y+x-10x=y+27$$

合併 x 和 -10x 以取得 -9x。

$$10y-9x=y+27$$

從兩邊減去 y。

$$10y-9x-y=27$$

合併 10y 和 -y 以取得 9y。

$$9y-9x=27$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

讓 10x 和 -9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 10。

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

化簡。

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -90x+45y=-45 減去 -90x+90y=270。

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

將 -90x 加到 90x。 -90x 和 90x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$45y-90y=-45-270$$

將 45y 加到 -90y。

$$-45y=-45-270$$

將 -45 加到 -270。

$$-45y=-315$$

將兩邊同時除以 -45。

$$y=7$$

在 -9x+9y=27 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-9x+9\times 7=27$$

9 乘上 7。

$$-9x+63=27$$

從方程式兩邊減去 63。

$$-9x=-36$$

將兩邊同時除以 -9。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=7$$