解決{l}{10x+5y=170}{6x+10y=200} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=10$$

$$y=14$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$10x+5y=170$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$10x=-5y+170$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

\frac{1}{10} 乘上 -5y+170。

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

在另一個方程式 6x+10y=200 中以 -\frac{y}{2}+17 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

6 乘上 -\frac{y}{2}+17。

$$-3y+102+10y=200$$

將 -3y 加到 10y。

$$7y+102=200$$

從方程式兩邊減去 102。

$$7y=98$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=14$$

在 x=-\frac{1}{2}y+17 中以 14 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

-\frac{1}{2} 乘上 14。

$$x=-7+17$$

將 17 加到 -7。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=14$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=10,y=14$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

讓 10x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 10。

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

化簡。

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 60x+30y=1020 減去 60x+100y=2000。

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

將 60x 加到 -60x。 60x 和 -60x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$30y-100y=1020-2000$$

將 30y 加到 -100y。

$$-70y=1020-2000$$

將 1020 加到 -2000。

$$-70y=-980$$

將兩邊同時除以 -70。

$$y=14$$

在 6x+10y=200 中以 14 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x+10\times 14=200$$

10 乘上 14。

$$6x+140=200$$

從方程式兩邊減去 140。

$$6x=60$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=14$$