解決{l}{10x+10y=9}{5x-2y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$10x+10y=9$$

從方程式兩邊減去 10y。

$$10x=-10y+9$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+9\right)$$

\frac{1}{10} 乘上 -10y+9。

$$x=-y+\frac{9}{10}$$

在另一個方程式 5x-2y=1 中以 -y+\frac{9}{10} 代入 x在方程式。

$$5\left(-y+\frac{9}{10}\right)-2y=1$$

5 乘上 -y+\frac{9}{10}。

$$-5y+\frac{9}{2}-2y=1$$

將 -5y 加到 -2y。

$$-7y+\frac{9}{2}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。

$$-7y=-\frac{7}{2}$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=\frac{1}{2}$$

在 x=-y+\frac{9}{10} 中以 \frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

將 \frac{9}{10} 與 -\frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{2}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-10\times 5}&-\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\\-\frac{5}{10\left(-2\right)-10\times 5}&\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}\times 9+\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

讓 10x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 10。

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 9,10\times 5x+10\left(-2\right)y=10$$

化簡。

$$50x+50y=45,50x-20y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 50x+50y=45 減去 50x-20y=10。

$$50x-50x+50y+20y=45-10$$

將 50x 加到 -50x。 50x 和 -50x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$50y+20y=45-10$$

將 50y 加到 20y。

$$70y=45-10$$

將 45 加到 -10。

$$70y=35$$

將兩邊同時除以 70。

$$y=\frac{1}{2}$$

在 5x-2y=1 中以 \frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-2\times \frac{1}{2}=1$$

-2 乘上 \frac{1}{2}。

$$5x-1=1$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$5x=2$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{2}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$