解決{l}{1.5x-3.5y=-5}{-1.2x+2.5y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1.5 x - 3.5 y = - 5 } \\ { - 1.2 x + 2.5 y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=20$$

$$y=10$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$1.5x-3.5y=-5$$

將 \frac{7y}{2} 加到方程式的兩邊。

$$1.5x=3.5y-5$$

對方程式的兩邊同時除以 1.5，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{2}{3}\left(3.5y-5\right)$$

\frac{2}{3} 乘上 \frac{7y}{2}-5。

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}$$

在另一個方程式 -1.2x+2.5y=1 中以 \frac{7y-10}{3} 代入 x在方程式。

$$-1.2\left(\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}\right)+2.5y=1$$

-1.2 乘上 \frac{7y-10}{3}。

$$-2.8y+4+2.5y=1$$

將 -\frac{14y}{5} 加到 \frac{5y}{2}。

$$-0.3y+4=1$$

從方程式兩邊減去 4。

$$-0.3y=-3$$

對方程式的兩邊同時除以 -0.3，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=10$$

在 x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3} 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{3}\times 10-\frac{10}{3}$$

\frac{7}{3} 乘上 10。

$$x=\frac{70-10}{3}$$

將 -\frac{10}{3} 與 \frac{70}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=20$$

現已成功解出系統。

$$x=20,y=10$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&-\frac{-3.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\\-\frac{-1.2}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&\frac{1.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}&-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}\left(-5\right)-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}\left(-5\right)-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=20,y=10$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

讓 \frac{3x}{2} 和 -\frac{6x}{5} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1.2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1.5。

$$-1.2\times 1.5x-1.2\left(-3.5\right)y=-1.2\left(-5\right),1.5\left(-1.2\right)x+1.5\times 2.5y=1.5$$

化簡。

$$-1.8x+4.2y=6,-1.8x+3.75y=1.5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -1.8x+4.2y=6 減去 -1.8x+3.75y=1.5。

$$-1.8x+1.8x+4.2y-3.75y=6-1.5$$

將 -\frac{9x}{5} 加到 \frac{9x}{5}。 -\frac{9x}{5} 和 \frac{9x}{5} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4.2y-3.75y=6-1.5$$

將 \frac{21y}{5} 加到 -\frac{15y}{4}。

$$0.45y=6-1.5$$

將 6 加到 -1.5。

$$0.45y=4.5$$

對方程式的兩邊同時除以 0.45，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=10$$

在 -1.2x+2.5y=1 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-1.2x+2.5\times 10=1$$

2.5 乘上 10。

$$-1.2x+25=1$$

從方程式兩邊減去 25。

$$-1.2x=-24$$

對方程式的兩邊同時除以 -1.2，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=20$$

現已成功解出系統。

$$x=20,y=10$$