解決{l}{0.6x+0.5y=9400}{0.4x-0.5y=1600} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.6 x + 0.5 y = 9400 } \\ { 0.4 x - 0.5 y = 1600 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=11000$$

$$y=5600$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$0.6x+0.5y=9400,0.4x-0.5y=1600$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$0.6x+0.5y=9400$$

從方程式兩邊減去 \frac{y}{2}。

$$0.6x=-0.5y+9400$$

對方程式的兩邊同時除以 0.6，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{5}{3}\left(-0.5y+9400\right)$$

\frac{5}{3} 乘上 -\frac{y}{2}+9400。

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{47000}{3}$$

在另一個方程式 0.4x-0.5y=1600 中以 -\frac{5y}{6}+\frac{47000}{3} 代入 x在方程式。

$$0.4\left(-\frac{5}{6}y+\frac{47000}{3}\right)-0.5y=1600$$

0.4 乘上 -\frac{5y}{6}+\frac{47000}{3}。

$$-\frac{1}{3}y+\frac{18800}{3}-0.5y=1600$$

將 -\frac{y}{3} 加到 -\frac{y}{2}。

$$-\frac{5}{6}y+\frac{18800}{3}=1600$$

從方程式兩邊減去 \frac{18800}{3}。

$$-\frac{5}{6}y=-\frac{14000}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{6}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=5600$$

在 x=-\frac{5}{6}y+\frac{47000}{3} 中以 5600 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{6}\times 5600+\frac{47000}{3}$$

-\frac{5}{6} 乘上 5600。

$$x=\frac{-14000+47000}{3}$$

將 \frac{47000}{3} 與 -\frac{14000}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=11000$$

現已成功解出系統。

$$x=11000,y=5600$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$0.6x+0.5y=9400,0.4x-0.5y=1600$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.4&-0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.5}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}&-\frac{0.5}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}\\-\frac{0.4}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}&\frac{0.6}{0.6\left(-0.5\right)-0.5\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9400\\1600\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9400+1600\\0.8\times 9400-1.2\times 1600\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11000\\5600\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=11000,y=5600$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$0.6x+0.5y=9400,0.4x-0.5y=1600$$

讓 \frac{3x}{5} 和 \frac{2x}{5} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.6。

$$0.4\times 0.6x+0.4\times 0.5y=0.4\times 9400,0.6\times 0.4x+0.6\left(-0.5\right)y=0.6\times 1600$$

化簡。

$$0.24x+0.2y=3760,0.24x-0.3y=960$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 0.24x+0.2y=3760 減去 0.24x-0.3y=960。

$$0.24x-0.24x+0.2y+0.3y=3760-960$$

將 \frac{6x}{25} 加到 -\frac{6x}{25}。 \frac{6x}{25} 和 -\frac{6x}{25} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$0.2y+0.3y=3760-960$$

將 \frac{y}{5} 加到 \frac{3y}{10}。

$$0.5y=3760-960$$

將 3760 加到 -960。

$$0.5y=2800$$

將兩邊同時乘上 2。

$$y=5600$$

在 0.4x-0.5y=1600 中以 5600 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$0.4x-0.5\times 5600=1600$$

-0.5 乘上 5600。

$$0.4x-2800=1600$$

將 2800 加到方程式的兩邊。

$$0.4x=4400$$

對方程式的兩邊同時除以 0.4，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=11000$$

現已成功解出系統。

$$x=11000,y=5600$$