\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.
解 x、y
x=6
y=10
圖表
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0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
0.5x-0.8y+9=4
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
0.5x-0.8y=-5
從方程式兩邊減去 9。
0.5x=0.8y-5
將 \frac{4y}{5} 加到方程式的兩邊。
x=2\left(0.8y-5\right)
將兩邊同時乘上 2。
x=1.6y-10
2 乘上 \frac{4y}{5}-5。
\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4
在另一個方程式 \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4 中以 \frac{8y}{5}-10 代入 x在方程式。
\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4
\frac{1}{3} 乘上 \frac{8y}{5}-10。
\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4
將 \frac{8y}{15} 加到 \frac{y}{5}。
\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}
將 \frac{10}{3} 加到方程式的兩邊。
y=10
對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{15}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=1.6\times 10-10
在 x=1.6y-10 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=16-10
1.6 乘上 10。
x=6
將 -10 加到 16。
x=6,y=10
現已成功解出系統。
0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)
計算。
x=6,y=10
解出矩陣元素 x 和 y。
0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4
讓 \frac{x}{2} 和 \frac{x}{3} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{3}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.5。
\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2
化簡。
\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3} 減去 \frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2。
-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2
將 \frac{x}{6} 加到 -\frac{x}{6}。 \frac{x}{6} 和 -\frac{x}{6} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2
將 -\frac{4y}{15} 加到 -\frac{y}{10}。
-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}
將 \frac{4}{3} 加到 -2。
-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}
從方程式兩邊減去 3。
y=10
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{11}{30}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4
在 \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{1}{3}x+2=4
\frac{1}{5} 乘上 10。
\frac{1}{3}x=2
從方程式兩邊減去 2。
x=6
將兩邊同時乘上 3。
x=6,y=10
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}