解決{l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 0.2y。

$$0.9x-0.2y=19$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$0.3x-0.5y=29$$

將 \frac{y}{2} 加到方程式的兩邊。

$$0.3x=0.5y+29$$

對方程式的兩邊同時除以 0.3，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

\frac{10}{3} 乘上 \frac{y}{2}+29。

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

在另一個方程式 0.9x-0.2y=19 中以 \frac{5y+290}{3} 代入 x在方程式。

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

0.9 乘上 \frac{5y+290}{3}。

$$1.5y+87-0.2y=19$$

將 \frac{3y}{2} 加到 -\frac{y}{5}。

$$1.3y+87=19$$

從方程式兩邊減去 87。

$$1.3y=-68$$

對方程式的兩邊同時除以 1.3，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{680}{13}$$

在 x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3} 中以 -\frac{680}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

\frac{5}{3} 乘上 -\frac{680}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

將 \frac{290}{3} 與 -\frac{3400}{39} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{370}{39}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 0.2y。

$$0.9x-0.2y=19$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 0.2y。

$$0.9x-0.2y=19$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

讓 \frac{3x}{10} 和 \frac{9x}{10} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.3。

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

化簡。

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 0.27x-0.45y=26.1 減去 0.27x-0.06y=5.7。

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

將 \frac{27x}{100} 加到 -\frac{27x}{100}。 \frac{27x}{100} 和 -\frac{27x}{100} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

將 -\frac{9y}{20} 加到 \frac{3y}{50}。

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

將 26.1 與 -5.7 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$-0.39y=20.4$$

對方程式的兩邊同時除以 -0.39，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{680}{13}$$

在 0.9x-0.2y=19 中以 -\frac{680}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

-0.2 乘上 -\frac{680}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

從方程式兩邊減去 \frac{136}{13}。

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

對方程式的兩邊同時除以 0.9，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{370}{39}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$