\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.
解 r、t
r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806
t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323
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0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
0.07r+0.02t=0.16
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 r: 將 r 單獨置於等號的左邊。
0.07r=-0.02t+0.16
從方程式兩邊減去 \frac{t}{50}。
r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)
對方程式的兩邊同時除以 0.07,與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}
\frac{100}{7} 乘上 -\frac{t}{50}+0.16。
0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21
在另一個方程式 0.05r-0.03t=0.21 中以 \frac{-2t+16}{7} 代入 r在方程式。
-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21
0.05 乘上 \frac{-2t+16}{7}。
-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21
將 -\frac{t}{70} 加到 -\frac{3t}{100}。
-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}
從方程式兩邊減去 \frac{4}{35}。
t=-\frac{67}{31}
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{31}{700},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}
在 r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7} 中以 -\frac{67}{31} 代入 t。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 r。
r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}
-\frac{2}{7} 乘上 -\frac{67}{31} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
r=\frac{90}{31}
將 \frac{16}{7} 與 \frac{134}{217} 相加的算法: 先通分,接著相加分子,然後將分式化為最簡分式。
r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}
現已成功解出系統。
0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)
計算。
r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}
解出矩陣元素 r 和 t。
0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21
讓 \frac{7r}{100} 和 \frac{r}{20} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.05,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.07。
0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147
化簡。
0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 0.0035r+0.001t=0.008 減去 0.0035r-0.0021t=0.0147。
0.001t+0.0021t=0.008-0.0147
將 \frac{7r}{2000} 加到 -\frac{7r}{2000}。 \frac{7r}{2000} 和 -\frac{7r}{2000} 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
0.0031t=0.008-0.0147
將 \frac{t}{1000} 加到 \frac{21t}{10000}。
0.0031t=-0.0067
將 0.008 與 -0.0147 相加的算法: 先通分,接著相加分子,然後將分式化為最簡分式。
t=-\frac{67}{31}
對方程式的兩邊同時除以 0.0031,與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21
在 0.05r-0.03t=0.21 中以 -\frac{67}{31} 代入 t。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 r。
0.05r+\frac{201}{3100}=0.21
-0.03 乘上 -\frac{67}{31} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
0.05r=\frac{9}{62}
從方程式兩邊減去 \frac{201}{3100}。
r=\frac{90}{31}
將兩邊同時乘上 20。
r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}