解決{l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-8x+4y=24$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$-8x=-4y+24$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

-\frac{1}{8} 乘上 -4y+24。

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

在另一個方程式 -7x+7y=28 中以 \frac{y}{2}-3 代入 x在方程式。

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

-7 乘上 \frac{y}{2}-3。

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

將 -\frac{7y}{2} 加到 7y。

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

從方程式兩邊減去 21。

$$\frac{7}{2}y=7$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=\frac{1}{2}y-3 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

\frac{1}{2} 乘上 2。

$$x=1-3$$

將 -3 加到 1。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

讓 -8x 和 -7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8。

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

化簡。

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 56x-28y=-168 減去 56x-56y=-224。

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

將 56x 加到 -56x。 56x 和 -56x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-28y+56y=-168+224$$

將 -28y 加到 56y。

$$28y=-168+224$$

將 -168 加到 224。

$$28y=56$$

將兩邊同時除以 28。

$$y=2$$

在 -7x+7y=28 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-7x+7\times 2=28$$

7 乘上 2。

$$-7x+14=28$$

從方程式兩邊減去 14。

$$-7x=14$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=2$$