解決{l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 10x。

$$5y-10x=-15$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-5x+y=-12$$

從方程式兩邊減去 y。

$$-5x=-y-12$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

-\frac{1}{5} 乘上 -y-12。

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

在另一個方程式 -10x+5y=-15 中以 \frac{12+y}{5} 代入 x在方程式。

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

-10 乘上 \frac{12+y}{5}。

$$-2y-24+5y=-15$$

將 -2y 加到 5y。

$$3y-24=-15$$

將 24 加到方程式的兩邊。

$$3y=9$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=3$$

在 x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

\frac{1}{5} 乘上 3。

$$x=\frac{3+12}{5}$$

將 \frac{12}{5} 與 \frac{3}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=3$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 10x。

$$5y-10x=-15$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=3$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 10x。

$$5y-10x=-15$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

讓 -5x 和 -10x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5。

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

化簡。

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 50x-10y=120 減去 50x-25y=75。

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

將 50x 加到 -50x。 50x 和 -50x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-10y+25y=120-75$$

將 -10y 加到 25y。

$$15y=120-75$$

將 120 加到 -75。

$$15y=45$$

將兩邊同時除以 15。

$$y=3$$

在 -10x+5y=-15 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-10x+5\times 3=-15$$

5 乘上 3。

$$-10x+15=-15$$

從方程式兩邊減去 15。

$$-10x=-30$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=3$$