解決{l}{-4x-2y=-16}{7x-5y=11} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 16 } \\ { 7 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-4x-2y=-16$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$-4x=2y-16$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-16\right)$$

-\frac{1}{4} 乘上 -16+2y。

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

在另一個方程式 7x-5y=11 中以 -\frac{y}{2}+4 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)-5y=11$$

7 乘上 -\frac{y}{2}+4。

$$-\frac{7}{2}y+28-5y=11$$

將 -\frac{7y}{2} 加到 -5y。

$$-\frac{17}{2}y+28=11$$

從方程式兩邊減去 28。

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{17}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=-\frac{1}{2}y+4 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

-\frac{1}{2} 乘上 2。

$$x=-1+4$$

將 4 加到 -1。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{4}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}&\frac{1}{17}\\-\frac{7}{34}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}\left(-16\right)+\frac{1}{17}\times 11\\-\frac{7}{34}\left(-16\right)-\frac{2}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

讓 -4x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4。

$$7\left(-4\right)x+7\left(-2\right)y=7\left(-16\right),-4\times 7x-4\left(-5\right)y=-4\times 11$$

化簡。

$$-28x-14y=-112,-28x+20y=-44$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -28x-14y=-112 減去 -28x+20y=-44。

$$-28x+28x-14y-20y=-112+44$$

將 -28x 加到 28x。 -28x 和 28x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-14y-20y=-112+44$$

將 -14y 加到 -20y。

$$-34y=-112+44$$

將 -112 加到 44。

$$-34y=-68$$

將兩邊同時除以 -34。

$$y=2$$

在 7x-5y=11 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x-5\times 2=11$$

-5 乘上 2。

$$7x-10=11$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$7x=21$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=2$$