\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = 1 } \\ { 4 x - y = 10 } \end{array} \right.
解 x、y
x=3
y=2
圖表
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-3x+5y=1,4x-y=10
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
-3x+5y=1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
-3x=-5y+1
從方程式兩邊減去 5y。
x=-\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)
將兩邊同時除以 -3。
x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}
-\frac{1}{3} 乘上 -5y+1。
4\left(\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)-y=10
在另一個方程式 4x-y=10 中以 \frac{5y-1}{3} 代入 x在方程式。
\frac{20}{3}y-\frac{4}{3}-y=10
4 乘上 \frac{5y-1}{3}。
\frac{17}{3}y-\frac{4}{3}=10
將 \frac{20y}{3} 加到 -y。
\frac{17}{3}y=\frac{34}{3}
將 \frac{4}{3} 加到方程式的兩邊。
y=2
對方程式的兩邊同時除以 \frac{17}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{5}{3}\times 2-\frac{1}{3}
在 x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{10-1}{3}
\frac{5}{3} 乘上 2。
x=3
將 -\frac{1}{3} 與 \frac{10}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=3,y=2
現已成功解出系統。
-3x+5y=1,4x-y=10
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{5}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}+\frac{5}{17}\times 10\\\frac{4}{17}+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=2
解出矩陣元素 x 和 y。
-3x+5y=1,4x-y=10
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
4\left(-3\right)x+4\times 5y=4,-3\times 4x-3\left(-1\right)y=-3\times 10
讓 -3x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。
-12x+20y=4,-12x+3y=-30
化簡。
-12x+12x+20y-3y=4+30
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -12x+20y=4 減去 -12x+3y=-30。
20y-3y=4+30
將 -12x 加到 12x。 -12x 和 12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
17y=4+30
將 20y 加到 -3y。
17y=34
將 4 加到 30。
y=2
將兩邊同時除以 17。
4x-2=10
在 4x-y=10 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
4x=12
將 2 加到方程式的兩邊。
x=3
將兩邊同時除以 4。
x=3,y=2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}