解決{l}{-3x+5y=-16}{-5x-4y=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = - 16 } \\ { - 5 x - 4 y = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-3x+5y=-16$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$-3x=-5y-16$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y-16\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 -5y-16。

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}$$

在另一個方程式 -5x-4y=-2 中以 \frac{5y+16}{3} 代入 x在方程式。

$$-5\left(\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}\right)-4y=-2$$

-5 乘上 \frac{5y+16}{3}。

$$-\frac{25}{3}y-\frac{80}{3}-4y=-2$$

將 -\frac{25y}{3} 加到 -4y。

$$-\frac{37}{3}y-\frac{80}{3}=-2$$

將 \frac{80}{3} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{37}{3}y=\frac{74}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{37}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)+\frac{16}{3}$$

\frac{5}{3} 乘上 -2。

$$x=\frac{-10+16}{3}$$

將 \frac{16}{3} 與 -\frac{10}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}&-\frac{5}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}&-\frac{5}{37}\\\frac{5}{37}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}\left(-16\right)-\frac{5}{37}\left(-2\right)\\\frac{5}{37}\left(-16\right)-\frac{3}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

讓 -3x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

$$-5\left(-3\right)x-5\times 5y=-5\left(-16\right),-3\left(-5\right)x-3\left(-4\right)y=-3\left(-2\right)$$

化簡。

$$15x-25y=80,15x+12y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-25y=80 減去 15x+12y=6。

$$15x-15x-25y-12y=80-6$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-25y-12y=80-6$$

將 -25y 加到 -12y。

$$-37y=80-6$$

將 80 加到 -6。

$$-37y=74$$

將兩邊同時除以 -37。

$$y=-2$$

在 -5x-4y=-2 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x-4\left(-2\right)=-2$$

-4 乘上 -2。

$$-5x+8=-2$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-5x=-10$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-2$$