解決{l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=1$$

$$b=-2$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4a。

$$-3a-4a=2b-3$$

合併 -3a 和 -4a 以取得 -7a。

$$-7a=2b-3$$

將兩邊同時除以 -7。

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

-\frac{1}{7} 乘上 2b-3。

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

在另一個方程式 -2a-b=0 中以 \frac{-2b+3}{7} 代入 a在方程式。

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

-2 乘上 \frac{-2b+3}{7}。

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

將 \frac{4b}{7} 加到 -b。

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

將 \frac{6}{7} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=-2$$

在 a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7} 中以 -2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

-\frac{2}{7} 乘上 -2。

$$a=\frac{4+3}{7}$$

將 \frac{3}{7} 與 \frac{4}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=1$$

現已成功解出系統。

$$a=1,b=-2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4a。

$$-3a-4a=2b-3$$

合併 -3a 和 -4a 以取得 -7a。

$$-7a=2b-3$$

從兩邊減去 2b。

$$-7a-2b=-3$$

考慮第二個方程式。 變數 a 不能等於 0，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 2a。

$$-b=2a$$

從兩邊減去 2a。

$$-b-2a=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=1,b=-2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4a。

$$-3a-4a=2b-3$$

合併 -3a 和 -4a 以取得 -7a。

$$-7a=2b-3$$

從兩邊減去 2b。

$$-7a-2b=-3$$

考慮第二個方程式。 變數 a 不能等於 0，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 2a。

$$-b=2a$$

從兩邊減去 2a。

$$-b-2a=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

讓 -7a 和 -2a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7。

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

化簡。

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 14a+4b=6 減去 14a+7b=0。

$$14a-14a+4b-7b=6$$

將 14a 加到 -14a。 14a 和 -14a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4b-7b=6$$

將 4b 加到 -7b。

$$-3b=6$$

將兩邊同時除以 -3。

$$b=-2$$

在 -2a-b=0 中以 -2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-2a=-2$$

將兩邊同時除以 -2。

$$a=1$$

現已成功解出系統。

$$a=1,b=-2$$