\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 9 } \\ { 7 x - 9 y = - 31 } \end{array} \right.
解 x、y
x=-4
y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333
圖表
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-2x+3y=9,7x-9y=-31
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
-2x+3y=9
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
-2x=-3y+9
從方程式兩邊減去 3y。
x=-\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)
將兩邊同時除以 -2。
x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}
-\frac{1}{2} 乘上 -3y+9。
7\left(\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}\right)-9y=-31
在另一個方程式 7x-9y=-31 中以 \frac{-9+3y}{2} 代入 x在方程式。
\frac{21}{2}y-\frac{63}{2}-9y=-31
7 乘上 \frac{-9+3y}{2}。
\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}=-31
將 \frac{21y}{2} 加到 -9y。
\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}
將 \frac{63}{2} 加到方程式的兩邊。
y=\frac{1}{3}
對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}-\frac{9}{2}
在 x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2} 中以 \frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{1-9}{2}
\frac{3}{2} 乘上 \frac{1}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
x=-4
將 -\frac{9}{2} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=-4,y=\frac{1}{3}
現已成功解出系統。
-2x+3y=9,7x-9y=-31
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{3}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{2}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 9-31\\\frac{7}{3}\times 9+\frac{2}{3}\left(-31\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)
計算。
x=-4,y=\frac{1}{3}
解出矩陣元素 x 和 y。
-2x+3y=9,7x-9y=-31
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
7\left(-2\right)x+7\times 3y=7\times 9,-2\times 7x-2\left(-9\right)y=-2\left(-31\right)
讓 -2x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。
-14x+21y=63,-14x+18y=62
化簡。
-14x+14x+21y-18y=63-62
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -14x+21y=63 減去 -14x+18y=62。
21y-18y=63-62
將 -14x 加到 14x。 -14x 和 14x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
3y=63-62
將 21y 加到 -18y。
3y=1
將 63 加到 -62。
y=\frac{1}{3}
將兩邊同時除以 3。
7x-9\times \frac{1}{3}=-31
在 7x-9y=-31 中以 \frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
7x-3=-31
-9 乘上 \frac{1}{3}。
7x=-28
將 3 加到方程式的兩邊。
x=-4
將兩邊同時除以 7。
x=-4,y=\frac{1}{3}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}