解決{l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=3$$

$$b=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$-2a-b+8=0$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-2a-b=-8$$

將 b 加到方程式的兩邊。

$$-2a=b-8$$

將兩邊同時除以 -2。

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 b-8。

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

在另一個方程式 a-2b+1=0 中以 -\frac{b}{2}+4 代入 a在方程式。

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

將 -\frac{b}{2} 加到 -2b。

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

將 4 加到 1。

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

從方程式兩邊減去 5。

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=2$$

在 a=-\frac{1}{2}b+4 中以 2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

-\frac{1}{2} 乘上 2。

$$a=-1+4$$

將 4 加到 -1。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=3,b=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

讓 -2a 和 a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

化簡。

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2a-b+8=0 減去 -2a+4b-2=0。

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

將 -2a 加到 2a。 -2a 和 2a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-b-4b+8+2=0$$

將 -b 加到 -4b。

$$-5b+8+2=0$$

將 8 加到 2。

$$-5b+10=0$$

從方程式兩邊減去 10。

$$-5b=-10$$

將兩邊同時除以 -5。

$$b=2$$

在 a-2b+1=0 中以 2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a-2\times 2+1=0$$

-2 乘上 2。

$$a-4+1=0$$

將 -4 加到 1。

$$a-3=0$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=2$$