解決{l}{-10x-3y=9}{-5x+5y=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x - 3 y = 9 } \\ { - 5 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-10x-3y=9$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$-10x=3y+9$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=-\frac{1}{10}\left(3y+9\right)$$

-\frac{1}{10} 乘上 9+3y。

$$x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}$$

在另一個方程式 -5x+5y=-2 中以 \frac{-3y-9}{10} 代入 x在方程式。

$$-5\left(-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}\right)+5y=-2$$

-5 乘上 \frac{-3y-9}{10}。

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+5y=-2$$

將 \frac{3y}{2} 加到 5y。

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=-2$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。

$$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)-\frac{9}{10}$$

-\frac{3}{10} 乘上 -1。

$$x=\frac{3-9}{10}$$

將 -\frac{9}{10} 與 \frac{3}{10} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{3}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{3}{65}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 9-\frac{3}{65}\left(-2\right)\\-\frac{1}{13}\times 9+\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

讓 -10x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10。

$$-5\left(-10\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 9,-10\left(-5\right)x-10\times 5y=-10\left(-2\right)$$

化簡。

$$50x+15y=-45,50x-50y=20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 50x+15y=-45 減去 50x-50y=20。

$$50x-50x+15y+50y=-45-20$$

將 50x 加到 -50x。 50x 和 -50x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$15y+50y=-45-20$$

將 15y 加到 50y。

$$65y=-45-20$$

將 -45 加到 -20。

$$65y=-65$$

將兩邊同時除以 65。

$$y=-1$$

在 -5x+5y=-2 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x+5\left(-1\right)=-2$$

5 乘上 -1。

$$-5x-5=-2$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$-5x=3$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{3}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$