\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.
解 x、y
x=4
y=4
圖表
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-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8
考慮第一個方程式。 若要尋找 -x-y 的相反數，請尋找每項的相反數。
-\left(-x\right)+y-4y+4x=8
計算 -4 乘上 y-x 時使用乘法分配律。
-\left(-x\right)-3y+4x=8
合併 y 和 -4y 以取得 -3y。
x-3y+4x=8
將 -1 乘上 -1 得到 1。
5x-3y=8
合併 x 和 4x 以取得 5x。
3x-1+2y+6-5=20
考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 y+3 時使用乘法分配律。
3x+5+2y-5=20
將 -1 與 6 相加可以得到 5。
3x+2y=20
從 5 減去 5 會得到 0。
5x-3y=8,3x+2y=20
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
5x-3y=8
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
5x=3y+8
將 3y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)
將兩邊同時除以 5。
x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}
\frac{1}{5} 乘上 3y+8。
3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20
在另一個方程式 3x+2y=20 中以 \frac{3y+8}{5} 代入 x在方程式。
\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20
3 乘上 \frac{3y+8}{5}。
\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20
將 \frac{9y}{5} 加到 2y。
\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}
從方程式兩邊減去 \frac{24}{5}。
y=4
對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}
在 x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5} 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{12+8}{5}
\frac{3}{5} 乘上 4。
x=4
將 \frac{8}{5} 與 \frac{12}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=4,y=4
現已成功解出系統。
-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8
考慮第一個方程式。 若要尋找 -x-y 的相反數，請尋找每項的相反數。
-\left(-x\right)+y-4y+4x=8
計算 -4 乘上 y-x 時使用乘法分配律。
-\left(-x\right)-3y+4x=8
合併 y 和 -4y 以取得 -3y。
x-3y+4x=8
將 -1 乘上 -1 得到 1。
5x-3y=8
合併 x 和 4x 以取得 5x。
3x-1+2y+6-5=20
考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 y+3 時使用乘法分配律。
3x+5+2y-5=20
將 -1 與 6 相加可以得到 5。
3x+2y=20
從 5 減去 5 會得到 0。
5x-3y=8,3x+2y=20
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)
計算。
x=4,y=4
解出矩陣元素 x 和 y。
-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8
考慮第一個方程式。 若要尋找 -x-y 的相反數，請尋找每項的相反數。
-\left(-x\right)+y-4y+4x=8
計算 -4 乘上 y-x 時使用乘法分配律。
-\left(-x\right)-3y+4x=8
合併 y 和 -4y 以取得 -3y。
x-3y+4x=8
將 -1 乘上 -1 得到 1。
5x-3y=8
合併 x 和 4x 以取得 5x。
3x-1+2y+6-5=20
考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 y+3 時使用乘法分配律。
3x+5+2y-5=20
將 -1 與 6 相加可以得到 5。
3x+2y=20
從 5 減去 5 會得到 0。
5x-3y=8,3x+2y=20
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20
讓 5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。
15x-9y=24,15x+10y=100
化簡。
15x-15x-9y-10y=24-100
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-9y=24 減去 15x+10y=100。
-9y-10y=24-100
將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-19y=24-100
將 -9y 加到 -10y。
-19y=-76
將 24 加到 -100。
y=4
將兩邊同時除以 -19。
3x+2\times 4=20
在 3x+2y=20 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
3x+8=20
2 乘上 4。
3x=12
從方程式兩邊減去 8。
x=4
將兩邊同時除以 3。
x=4,y=4
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}