解決{l}{(x+3)(y-1)=xy+2}{(x-1)(y+3)=xy-2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 3 ) ( y - 1 ) = x y + 2 } \\ { ( x - 1 ) ( y + 3 ) = x y - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 x+3 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$xy-x+3y-3=xy+2$$

從兩邊減去 xy。

$$xy-x+3y-3-xy=2$$

合併 xy 和 -xy 以取得 0。

$$-x+3y-3=2$$

新增 3 至兩側。

$$-x+3y=2+3$$

將 2 與 3 相加可以得到 5。

$$-x+3y=5$$

考慮第二個方程式。 計算 x-1 乘上 y+3 時使用乘法分配律。

$$xy+3x-y-3=xy-2$$

從兩邊減去 xy。

$$xy+3x-y-3-xy=-2$$

合併 xy 和 -xy 以取得 0。

$$3x-y-3=-2$$

新增 3 至兩側。

$$3x-y=-2+3$$

將 -2 與 3 相加可以得到 1。

$$3x-y=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-x+3y=5,3x-y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-x+3y=5$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$-x=-3y+5$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\left(-3y+5\right)$$

-1 乘上 -3y+5。

$$x=3y-5$$

在另一個方程式 3x-y=1 中以 3y-5 代入 x在方程式。

$$3\left(3y-5\right)-y=1$$

3 乘上 3y-5。

$$9y-15-y=1$$

將 9y 加到 -y。

$$8y-15=1$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$8y=16$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=2$$

在 x=3y-5 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3\times 2-5$$

3 乘上 2。

$$x=6-5$$

將 -5 加到 6。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 x+3 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$xy-x+3y-3=xy+2$$

從兩邊減去 xy。

$$xy-x+3y-3-xy=2$$

合併 xy 和 -xy 以取得 0。

$$-x+3y-3=2$$

新增 3 至兩側。

$$-x+3y=2+3$$

將 2 與 3 相加可以得到 5。

$$-x+3y=5$$

考慮第二個方程式。 計算 x-1 乘上 y+3 時使用乘法分配律。

$$xy+3x-y-3=xy-2$$

從兩邊減去 xy。

$$xy+3x-y-3-xy=-2$$

合併 xy 和 -xy 以取得 0。

$$3x-y-3=-2$$

新增 3 至兩側。

$$3x-y=-2+3$$

將 -2 與 3 相加可以得到 1。

$$3x-y=1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-x+3y=5,3x-y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{-\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{-\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 x+3 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$xy-x+3y-3=xy+2$$

從兩邊減去 xy。

$$xy-x+3y-3-xy=2$$

合併 xy 和 -xy 以取得 0。

$$-x+3y-3=2$$

新增 3 至兩側。

$$-x+3y=2+3$$

將 2 與 3 相加可以得到 5。

$$-x+3y=5$$

考慮第二個方程式。 計算 x-1 乘上 y+3 時使用乘法分配律。

$$xy+3x-y-3=xy-2$$

從兩邊減去 xy。

$$xy+3x-y-3-xy=-2$$

合併 xy 和 -xy 以取得 0。

$$3x-y-3=-2$$

新增 3 至兩側。

$$3x-y=-2+3$$

將 -2 與 3 相加可以得到 1。

$$3x-y=1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-x+3y=5,3x-y=1$$

讓 -x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1。

$$3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 5,-3x-\left(-y\right)=-1$$

化簡。

$$-3x+9y=15,-3x+y=-1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3x+9y=15 減去 -3x+y=-1。

$$-3x+3x+9y-y=15+1$$

將 -3x 加到 3x。 -3x 和 3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y-y=15+1$$

將 9y 加到 -y。

$$8y=15+1$$

將 15 加到 1。

$$8y=16$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=2$$

在 3x-y=1 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-2=1$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$3x=3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$