\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.
解 x, y
x=0
y=1
圖表
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x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y
考慮第一個方程式。 使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+2\right)^{2}。
x^{2}+4x+5=x^{2}+5y
將 4 與 1 相加可以得到 5。
x^{2}+4x+5-x^{2}=5y
從兩邊減去 x^{2}。
4x+5=5y
合併 x^{2} 和 -x^{2} 以取得 0。
4x+5-5y=0
從兩邊減去 5y。
4x-5y=-5
從兩邊減去 5。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。
4x-5y=-5,3x+y=1
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
4x-5y=-5
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
4x=5y-5
將 5y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)
將兩邊同時除以 4。
x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}
\frac{1}{4} 乘上 -5+5y。
3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1
在另一個方程式 3x+y=1 中以 \frac{-5+5y}{4} 代入 x在方程式。
\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1
3 乘上 \frac{-5+5y}{4}。
\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1
將 \frac{15y}{4} 加到 y。
\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}
將 \frac{15}{4} 加到方程式的兩邊。
y=1
對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{5-5}{4}
在 x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=0
將 -\frac{5}{4} 與 \frac{5}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=0,y=1
現已成功解出系統。
x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y
考慮第一個方程式。 使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+2\right)^{2}。
x^{2}+4x+5=x^{2}+5y
將 4 與 1 相加可以得到 5。
x^{2}+4x+5-x^{2}=5y
從兩邊減去 x^{2}。
4x+5=5y
合併 x^{2} 和 -x^{2} 以取得 0。
4x+5-5y=0
從兩邊減去 5y。
4x-5y=-5
從兩邊減去 5。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。
4x-5y=-5,3x+y=1
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)
計算。
x=0,y=1
解出矩陣元素 x 和 y。
x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y
考慮第一個方程式。 使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+2\right)^{2}。
x^{2}+4x+5=x^{2}+5y
將 4 與 1 相加可以得到 5。
x^{2}+4x+5-x^{2}=5y
從兩邊減去 x^{2}。
4x+5=5y
合併 x^{2} 和 -x^{2} 以取得 0。
4x+5-5y=0
從兩邊減去 5y。
4x-5y=-5
從兩邊減去 5。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。
4x-5y=-5,3x+y=1
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4
讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。
12x-15y=-15,12x+4y=4
化簡。
12x-12x-15y-4y=-15-4
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-15y=-15 減去 12x+4y=4。
-15y-4y=-15-4
將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-19y=-15-4
將 -15y 加到 -4y。
-19y=-19
將 -15 加到 -4。
y=1
將兩邊同時除以 -19。
3x+1=1
在 3x+y=1 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
3x=0
從方程式兩邊減去 1。
x=0
將兩邊同時除以 3。
x=0,y=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}