解決{l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

-2 乘上 b-2013。

$$a-2b+4026+2012=3$$

將 4026 加到 2012。

$$a-2b+6038=3$$

從方程式兩邊減去 6038。

$$a-2b=-6035$$

將 2b 加到方程式的兩邊。

$$a=2b-6035$$

在另一個方程式 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5 中以 2b-6035 代入 a在方程式。

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

將 -6035 加到 2012。

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

3 乘上 2b-4023。

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

4 乘上 b-2013。

$$6b-12069+4b-8052=5$$

將 6b 加到 4b。

$$10b-12069-8052=5$$

將 -12069 加到 -8052。

$$10b-20121=5$$

將 20121 加到方程式的兩邊。

$$10b=20126$$

將兩邊同時除以 10。

$$b=\frac{10063}{5}$$

在 a=2b-6035 中以 \frac{10063}{5} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

2 乘上 \frac{10063}{5}。

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

將 -6035 加到 \frac{20126}{5}。

$$a=-\frac{10049}{5}$$

現已成功解出系統。

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

化簡第一個方程式，使其成為標準式。

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

-2 乘上 b-2013。

$$a-2b+4026+2012=3$$

將 4026 加到 2012。

$$a-2b+6038=3$$

從方程式兩邊減去 6038。

$$a-2b=-6035$$

化簡第二個方程式，使其成為標準式。

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

3 乘上 a+2012。

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

4 乘上 b-2013。

$$3a+6036+4b-8052=5$$

將 6036 加到 -8052。

$$3a+4b-2016=5$$

將 2016 加到方程式的兩邊。

$$3a+4b=2021$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$