\left\{ \begin{array} { l } { ( A + B ) \frac { 1 } { 2 } - B = \frac { 3 } { 4 } } \\ { ( 2 A + B ) \frac { 1 } { 4 } - B = \frac { 5 } { 4 } } \end{array} \right.
解 A、B
A=-\frac{1}{2}=-0.5
B=-2
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\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}
考慮第一個方程式。 計算 A+B 乘上 \frac{1}{2} 時使用乘法分配律。
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}
合併 \frac{1}{2}B 和 -B 以取得 -\frac{1}{2}B。
\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}
考慮第二個方程式。 計算 2A+B 乘上 \frac{1}{4} 時使用乘法分配律。
\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
合併 \frac{1}{4}B 和 -B 以取得 -\frac{3}{4}B。
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 A: 將 A 單獨置於等號的左邊。
\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}
將 \frac{B}{2} 加到方程式的兩邊。
A=2\left(\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}\right)
將兩邊同時乘上 2。
A=B+\frac{3}{2}
2 乘上 \frac{B}{2}+\frac{3}{4}。
\frac{1}{2}\left(B+\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
在另一個方程式 \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4} 中以 B+\frac{3}{2} 代入 A在方程式。
\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
\frac{1}{2} 乘上 B+\frac{3}{2}。
-\frac{1}{4}B+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}
將 \frac{B}{2} 加到 -\frac{3B}{4}。
-\frac{1}{4}B=\frac{1}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{3}{4}。
B=-2
將兩邊同時乘上 -4。
A=-2+\frac{3}{2}
在 A=B+\frac{3}{2} 中以 -2 代入 B。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 A。
A=-\frac{1}{2}
將 \frac{3}{2} 加到 -2。
A=-\frac{1}{2},B=-2
現已成功解出系統。
\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}
考慮第一個方程式。 計算 A+B 乘上 \frac{1}{2} 時使用乘法分配律。
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}
合併 \frac{1}{2}B 和 -B 以取得 -\frac{1}{2}B。
\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}
考慮第二個方程式。 計算 2A+B 乘上 \frac{1}{4} 時使用乘法分配律。
\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
合併 \frac{1}{4}B 和 -B 以取得 -\frac{3}{4}B。
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\\4\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\-2\end{matrix}\right)
計算。
A=-\frac{1}{2},B=-2
解出矩陣元素 A 和 B。
\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}
考慮第一個方程式。 計算 A+B 乘上 \frac{1}{2} 時使用乘法分配律。
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}
合併 \frac{1}{2}B 和 -B 以取得 -\frac{1}{2}B。
\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}
考慮第二個方程式。 計算 2A+B 乘上 \frac{1}{4} 時使用乘法分配律。
\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
合併 \frac{1}{4}B 和 -B 以取得 -\frac{3}{4}B。
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4} 減去 \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}。
-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}
將 \frac{A}{2} 加到 -\frac{A}{2}。 \frac{A}{2} 和 -\frac{A}{2} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\frac{1}{4}B=\frac{3-5}{4}
將 -\frac{B}{2} 加到 \frac{3B}{4}。
\frac{1}{4}B=-\frac{1}{2}
將 \frac{3}{4} 與 -\frac{5}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
B=-2
將兩邊同時乘上 4。
\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}\left(-2\right)=\frac{5}{4}
在 \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4} 中以 -2 代入 B。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 A。
\frac{1}{2}A+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}
-\frac{3}{4} 乘上 -2。
\frac{1}{2}A=-\frac{1}{4}
從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。
A=-\frac{1}{2}
將兩邊同時乘上 2。
A=-\frac{1}{2},B=-2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}