解決{l}{x-y/2-y/3=1}{2x+y/2=y} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { 2 x + y } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{6}{7}\approx -0.857142857$$

$$y = -\frac{12}{7} = -1\frac{5}{7} \approx -1.714285714$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

計算 3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x-3y-2y=6$$

合併 -3y 和 -2y 以取得 -5y。

$$3x-5y=6$$

考慮第二個方程式。 將 2x+y 的每一項除以 2 以得到 x+\frac{1}{2}y。

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

從兩邊減去 y。

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

合併 \frac{1}{2}y 和 -y 以取得 -\frac{1}{2}y。

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-5y=6$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$3x=5y+6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 5y+6。

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

在另一個方程式 x-\frac{1}{2}y=0 中以 \frac{5y}{3}+2 代入 x在方程式。

$$\frac{5}{3}y+2-\frac{1}{2}y=0$$

將 \frac{5y}{3} 加到 -\frac{y}{2}。

$$\frac{7}{6}y+2=0$$

從方程式兩邊減去 2。

$$\frac{7}{6}y=-2$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{6}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{12}{7}$$

在 x=\frac{5}{3}y+2 中以 -\frac{12}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{12}{7}\right)+2$$

\frac{5}{3} 乘上 -\frac{12}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{20}{7}+2$$

將 2 加到 -\frac{20}{7}。

$$x=-\frac{6}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

計算 3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x-3y-2y=6$$

合併 -3y 和 -2y 以取得 -5y。

$$3x-5y=6$$

考慮第二個方程式。 將 2x+y 的每一項除以 2 以得到 x+\frac{1}{2}y。

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

從兩邊減去 y。

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

合併 \frac{1}{2}y 和 -y 以取得 -\frac{1}{2}y。

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{10}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}\\-\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

計算 3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x-3y-2y=6$$

合併 -3y 和 -2y 以取得 -5y。

$$3x-5y=6$$

考慮第二個方程式。 將 2x+y 的每一項除以 2 以得到 x+\frac{1}{2}y。

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

從兩邊減去 y。

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

合併 \frac{1}{2}y 和 -y 以取得 -\frac{1}{2}y。

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3x-5y=6,3x+3\left(-\frac{1}{2}\right)y=0$$

化簡。

$$3x-5y=6,3x-\frac{3}{2}y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-5y=6 減去 3x-\frac{3}{2}y=0。

$$3x-3x-5y+\frac{3}{2}y=6$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y+\frac{3}{2}y=6$$

將 -5y 加到 \frac{3y}{2}。

$$-\frac{7}{2}y=6$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{12}{7}$$

在 x-\frac{1}{2}y=0 中以 -\frac{12}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-\frac{1}{2}\left(-\frac{12}{7}\right)=0$$

-\frac{1}{2} 乘上 -\frac{12}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x+\frac{6}{7}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{6}{7}。

$$x=-\frac{6}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$