解決{l}{x-3/4-y+1/2=-3}{3(2x-y)-2y=-21} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 4 } - \frac { y + 1 } { 2 } = - 3 } \\ { 3 ( 2 x - y ) - 2 y = - 21 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4，這是 4,2 的最小公倍數。

$$x-3-2\left(y+1\right)=-12$$

計算 -2 乘上 y+1 時使用乘法分配律。

$$x-3-2y-2=-12$$

從 -3 減去 2 會得到 -5。

$$x-5-2y=-12$$

新增 5 至兩側。

$$x-2y=-12+5$$

將 -12 與 5 相加可以得到 -7。

$$x-2y=-7$$

考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 2x-y 時使用乘法分配律。

$$6x-3y-2y=-21$$

合併 -3y 和 -2y 以取得 -5y。

$$6x-5y=-21$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-2y=-7,6x-5y=-21$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-2y=-7$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$x=2y-7$$

在另一個方程式 6x-5y=-21 中以 2y-7 代入 x在方程式。

$$6\left(2y-7\right)-5y=-21$$

6 乘上 2y-7。

$$12y-42-5y=-21$$

將 12y 加到 -5y。

$$7y-42=-21$$

將 42 加到方程式的兩邊。

$$7y=21$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=3$$

在 x=2y-7 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2\times 3-7$$

2 乘上 3。

$$x=6-7$$

將 -7 加到 6。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=3$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4，這是 4,2 的最小公倍數。

$$x-3-2\left(y+1\right)=-12$$

計算 -2 乘上 y+1 時使用乘法分配律。

$$x-3-2y-2=-12$$

從 -3 減去 2 會得到 -5。

$$x-5-2y=-12$$

新增 5 至兩側。

$$x-2y=-12+5$$

將 -12 與 5 相加可以得到 -7。

$$x-2y=-7$$

考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 2x-y 時使用乘法分配律。

$$6x-3y-2y=-21$$

合併 -3y 和 -2y 以取得 -5y。

$$6x-5y=-21$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-2y=-7,6x-5y=-21$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{-5-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{-5-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{-5-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\left(-7\right)+\frac{2}{7}\left(-21\right)\\-\frac{6}{7}\left(-7\right)+\frac{1}{7}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=3$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4，這是 4,2 的最小公倍數。

$$x-3-2\left(y+1\right)=-12$$

計算 -2 乘上 y+1 時使用乘法分配律。

$$x-3-2y-2=-12$$

從 -3 減去 2 會得到 -5。

$$x-5-2y=-12$$

新增 5 至兩側。

$$x-2y=-12+5$$

將 -12 與 5 相加可以得到 -7。

$$x-2y=-7$$

考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 2x-y 時使用乘法分配律。

$$6x-3y-2y=-21$$

合併 -3y 和 -2y 以取得 -5y。

$$6x-5y=-21$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-2y=-7,6x-5y=-21$$

讓 x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-7\right),6x-5y=-21$$

化簡。

$$6x-12y=-42,6x-5y=-21$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-12y=-42 減去 6x-5y=-21。

$$6x-6x-12y+5y=-42+21$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y+5y=-42+21$$

將 -12y 加到 5y。

$$-7y=-42+21$$

將 -42 加到 21。

$$-7y=-21$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=3$$

在 6x-5y=-21 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-5\times 3=-21$$

-5 乘上 3。

$$6x-15=-21$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$6x=-6$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=3$$