解決{l}{x/y=e}{x+y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { y } = e } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{e}{e+1}\approx 0.731058579$$

$$y=\frac{1}{e+1}\approx 0.268941421$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 變數 y 不能等於 0，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 y。

$$x=ey$$

在另一個方程式 x+y=1 中以 ey 代入 x在方程式。

$$ey+y=1$$

將 ey 加到 y。

$$\left(e+1\right)y=1$$

將兩邊同時除以 e+1。

$$y=\frac{1}{e+1}$$

在 x=ey 中以 \frac{1}{e+1} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=e\times \frac{1}{e+1}$$

e 乘上 \frac{1}{e+1}。

$$x=\frac{e}{e+1}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

變數 y 不能等於 0。

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 變數 y 不能等於 0，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 y。

$$x=ey$$

從兩邊減去 ey。

$$x-ey=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-e\right)}&-\frac{-e}{1-\left(-e\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-e\right)}&\frac{1}{1-\left(-e\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{e+1}&\frac{e}{e+1}\\-\frac{1}{e+1}&\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{e}{e+1}\\\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

變數 y 不能等於 0。

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 變數 y 不能等於 0，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 y。

$$x=ey$$

從兩邊減去 ey。

$$x-ey=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+\left(-e\right)y=0 減去 x+y=1。

$$x-x+\left(-e\right)y-y=-1$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\left(-e\right)y-y=-1$$

將 -ey 加到 -y。

$$\left(-e-1\right)y=-1$$

將兩邊同時除以 -e-1。

$$y=\frac{1}{e+1}$$

在 x+y=1 中以 \frac{1}{1+e} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+\frac{1}{e+1}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{1+e}。

$$x=\frac{e}{e+1}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

變數 y 不能等於 0。

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$