\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - y = - 1 } \\ { 3 x - 2 y = 6 } \end{array} \right.
解 x, y
x=3
y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5
圖表
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\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{1}{6}x-y=-1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{1}{6}x=y-1
將 y 加到方程式的兩邊。
x=6\left(y-1\right)
將兩邊同時乘上 6。
x=6y-6
6 乘上 y-1。
3\left(6y-6\right)-2y=6
在另一個方程式 3x-2y=6 中以 -6+6y 代入 x在方程式。
18y-18-2y=6
3 乘上 -6+6y。
16y-18=6
將 18y 加到 -2y。
16y=24
將 18 加到方程式的兩邊。
y=\frac{3}{2}
將兩邊同時除以 16。
x=6\times \frac{3}{2}-6
在 x=6y-6 中以 \frac{3}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=9-6
6 乘上 \frac{3}{2}。
x=3
將 -6 加到 9。
x=3,y=\frac{3}{2}
現已成功解出系統。
\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{3}{8}\\-\frac{9}{8}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 6\\-\frac{9}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{16}\times 6\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=\frac{3}{2}
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times \frac{1}{6}x+3\left(-1\right)y=3\left(-1\right),\frac{1}{6}\times 3x+\frac{1}{6}\left(-2\right)y=\frac{1}{6}\times 6
讓 \frac{x}{6} 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{6}。
\frac{1}{2}x-3y=-3,\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1
化簡。
\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-3y+\frac{1}{3}y=-3-1
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{2}x-3y=-3 減去 \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1。
-3y+\frac{1}{3}y=-3-1
將 \frac{x}{2} 加到 -\frac{x}{2}。 \frac{x}{2} 和 -\frac{x}{2} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{8}{3}y=-3-1
將 -3y 加到 \frac{y}{3}。
-\frac{8}{3}y=-4
將 -3 加到 -1。
y=\frac{3}{2}
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{8}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
3x-2\times \frac{3}{2}=6
在 3x-2y=6 中以 \frac{3}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
3x-3=6
-2 乘上 \frac{3}{2}。
3x=9
將 3 加到方程式的兩邊。
x=3
將兩邊同時除以 3。
x=3,y=\frac{3}{2}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}