解決{l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=12$$

$$y=30$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 30，這是 6,5 的最小公倍數。

$$5x-6y=-120$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,6 的最小公倍數。

$$3x-2y=-24$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-6y=-120$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$5x=6y-120$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -120+6y。

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

在另一個方程式 3x-2y=-24 中以 \frac{6y}{5}-24 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

3 乘上 \frac{6y}{5}-24。

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

將 \frac{18y}{5} 加到 -2y。

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

將 72 加到方程式的兩邊。

$$\frac{8}{5}y=48$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{8}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=30$$

在 x=\frac{6}{5}y-24 中以 30 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

\frac{6}{5} 乘上 30。

$$x=36-24$$

將 -24 加到 36。

$$x=12$$

現已成功解出系統。

$$x=12,y=30$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 30，這是 6,5 的最小公倍數。

$$5x-6y=-120$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,6 的最小公倍數。

$$3x-2y=-24$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=12,y=30$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 30，這是 6,5 的最小公倍數。

$$5x-6y=-120$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,6 的最小公倍數。

$$3x-2y=-24$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

讓 5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

化簡。

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-18y=-360 減去 15x-10y=-120。

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-18y+10y=-360+120$$

將 -18y 加到 10y。

$$-8y=-360+120$$

將 -360 加到 120。

$$-8y=-240$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=30$$

在 3x-2y=-24 中以 30 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-2\times 30=-24$$

-2 乘上 30。

$$3x-60=-24$$

將 60 加到方程式的兩邊。

$$3x=36$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=12$$

現已成功解出系統。

$$x=12,y=30$$