\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 7 } \\ { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { y } { 2 } = 14 } \end{array} \right.
解 x、y
x=12
y=12
圖表
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\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{1}{4}x=-\frac{1}{3}y+7
從方程式兩邊減去 \frac{y}{3}。
x=4\left(-\frac{1}{3}y+7\right)
將兩邊同時乘上 4。
x=-\frac{4}{3}y+28
4 乘上 -\frac{y}{3}+7。
\frac{2}{3}\left(-\frac{4}{3}y+28\right)+\frac{1}{2}y=14
在另一個方程式 \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14 中以 -\frac{4y}{3}+28 代入 x在方程式。
-\frac{8}{9}y+\frac{56}{3}+\frac{1}{2}y=14
\frac{2}{3} 乘上 -\frac{4y}{3}+28。
-\frac{7}{18}y+\frac{56}{3}=14
將 -\frac{8y}{9} 加到 \frac{y}{2}。
-\frac{7}{18}y=-\frac{14}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{56}{3}。
y=12
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{18}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{4}{3}\times 12+28
在 x=-\frac{4}{3}y+28 中以 12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-16+28
-\frac{4}{3} 乘上 12。
x=12
將 28 加到 -16。
x=12,y=12
現已成功解出系統。
\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}&\frac{24}{7}\\\frac{48}{7}&-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}\times 7+\frac{24}{7}\times 14\\\frac{48}{7}\times 7-\frac{18}{7}\times 14\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)
計算。
x=12,y=12
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{2}{3}\times 7,\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{4}\times 14
讓 \frac{x}{4} 和 \frac{2x}{3} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{2}{3}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{4}。
\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2}
化簡。
\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3} 減去 \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2}。
\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}
將 \frac{x}{6} 加到 -\frac{x}{6}。 \frac{x}{6} 和 -\frac{x}{6} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\frac{7}{72}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}
將 \frac{2y}{9} 加到 -\frac{y}{8}。
\frac{7}{72}y=\frac{7}{6}
將 \frac{14}{3} 與 -\frac{7}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
y=12
對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{72}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\times 12=14
在 \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14 中以 12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{2}{3}x+6=14
\frac{1}{2} 乘上 12。
\frac{2}{3}x=8
從方程式兩邊減去 6。
x=12
對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=12,y=12
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}