解決{l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=12$$

$$y=8$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4，這是 4,2 的最小公倍數。

$$x+2y=28$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4 的最小公倍數。

$$4x-3y=24$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=28$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y+28$$

在另一個方程式 4x-3y=24 中以 -2y+28 代入 x在方程式。

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

4 乘上 -2y+28。

$$-8y+112-3y=24$$

將 -8y 加到 -3y。

$$-11y+112=24$$

從方程式兩邊減去 112。

$$-11y=-88$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=8$$

在 x=-2y+28 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times 8+28$$

-2 乘上 8。

$$x=-16+28$$

將 28 加到 -16。

$$x=12$$

現已成功解出系統。

$$x=12,y=8$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4，這是 4,2 的最小公倍數。

$$x+2y=28$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4 的最小公倍數。

$$4x-3y=24$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=12,y=8$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4，這是 4,2 的最小公倍數。

$$x+2y=28$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4 的最小公倍數。

$$4x-3y=24$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

化簡。

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+8y=112 減去 4x-3y=24。

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y+3y=112-24$$

將 8y 加到 3y。

$$11y=112-24$$

將 112 加到 -24。

$$11y=88$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=8$$

在 4x-3y=24 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-3\times 8=24$$

-3 乘上 8。

$$4x-24=24$$

將 24 加到方程式的兩邊。

$$4x=48$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=12$$

現已成功解出系統。

$$x=12,y=8$$