\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = - \frac { 7 } { 12 } } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 6 } } \end{array} \right.
解 x、y
x=11
y=-17
圖表
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\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12}
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{1}{3}x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}
從方程式兩邊減去 \frac{y}{4}。
x=3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}\right)
將兩邊同時乘上 3。
x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}
3 乘上 -\frac{y}{4}-\frac{7}{12}。
\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}
在另一個方程式 \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6} 中以 \frac{-3y-7}{4} 代入 x在方程式。
-\frac{3}{8}y-\frac{7}{8}+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}
\frac{1}{2} 乘上 \frac{-3y-7}{4}。
-\frac{1}{24}y-\frac{7}{8}=-\frac{1}{6}
將 -\frac{3y}{8} 加到 \frac{y}{3}。
-\frac{1}{24}y=\frac{17}{24}
將 \frac{7}{8} 加到方程式的兩邊。
y=-17
將兩邊同時乘上 -24。
x=-\frac{3}{4}\left(-17\right)-\frac{7}{4}
在 x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4} 中以 -17 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{51-7}{4}
-\frac{3}{4} 乘上 -17。
x=11
將 -\frac{7}{4} 與 \frac{51}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=11,y=-17
現已成功解出系統。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24&18\\36&-24\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\left(-\frac{7}{12}\right)+18\left(-\frac{1}{6}\right)\\36\left(-\frac{7}{12}\right)-24\left(-\frac{1}{6}\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)
計算。
x=11,y=-17
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{12}\right),\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)
讓 \frac{x}{3} 和 \frac{x}{2} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{2}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{3}。
\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24},\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18}
化簡。
\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24} 減去 \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18}。
\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}
將 \frac{x}{6} 加到 -\frac{x}{6}。 \frac{x}{6} 和 -\frac{x}{6} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\frac{1}{72}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}
將 \frac{y}{8} 加到 -\frac{y}{9}。
\frac{1}{72}y=-\frac{17}{72}
將 -\frac{7}{24} 與 \frac{1}{18} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
y=-17
將兩邊同時乘上 72。
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-17\right)=-\frac{1}{6}
在 \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6} 中以 -17 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{1}{2}x-\frac{17}{3}=-\frac{1}{6}
\frac{1}{3} 乘上 -17。
\frac{1}{2}x=\frac{11}{2}
將 \frac{17}{3} 加到方程式的兩邊。
x=11
將兩邊同時乘上 2。
x=11,y=-17
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}