\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.
解 x、y
x=2
y=3
圖表
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3x+y=3\left(1\times 2+1\right)
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,6 的最小公倍數。
3x+y=3\left(2+1\right)
將 1 乘上 2 得到 2。
3x+y=3\times 3
將 2 與 1 相加可以得到 3。
3x+y=9
將 3 乘上 3 得到 9。
3\times 2x-5y=-3
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 5,3 的最小公倍數。
6x-5y=-3
將 3 乘上 2 得到 6。
3x+y=9,6x-5y=-3
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x+y=9
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=-y+9
從方程式兩邊減去 y。
x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)
將兩邊同時除以 3。
x=-\frac{1}{3}y+3
\frac{1}{3} 乘上 -y+9。
6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3
在另一個方程式 6x-5y=-3 中以 -\frac{y}{3}+3 代入 x在方程式。
-2y+18-5y=-3
6 乘上 -\frac{y}{3}+3。
-7y+18=-3
將 -2y 加到 -5y。
-7y=-21
從方程式兩邊減去 18。
y=3
將兩邊同時除以 -7。
x=-\frac{1}{3}\times 3+3
在 x=-\frac{1}{3}y+3 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-1+3
-\frac{1}{3} 乘上 3。
x=2
將 3 加到 -1。
x=2,y=3
現已成功解出系統。
3x+y=3\left(1\times 2+1\right)
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,6 的最小公倍數。
3x+y=3\left(2+1\right)
將 1 乘上 2 得到 2。
3x+y=3\times 3
將 2 與 1 相加可以得到 3。
3x+y=9
將 3 乘上 3 得到 9。
3\times 2x-5y=-3
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 5,3 的最小公倍數。
6x-5y=-3
將 3 乘上 2 得到 6。
3x+y=9,6x-5y=-3
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)
計算。
x=2,y=3
解出矩陣元素 x 和 y。
3x+y=3\left(1\times 2+1\right)
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,6 的最小公倍數。
3x+y=3\left(2+1\right)
將 1 乘上 2 得到 2。
3x+y=3\times 3
將 2 與 1 相加可以得到 3。
3x+y=9
將 3 乘上 3 得到 9。
3\times 2x-5y=-3
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 5,3 的最小公倍數。
6x-5y=-3
將 3 乘上 2 得到 6。
3x+y=9,6x-5y=-3
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)
讓 3x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
18x+6y=54,18x-15y=-9
化簡。
18x-18x+6y+15y=54+9
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x+6y=54 減去 18x-15y=-9。
6y+15y=54+9
將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
21y=54+9
將 6y 加到 15y。
21y=63
將 54 加到 9。
y=3
將兩邊同時除以 21。
6x-5\times 3=-3
在 6x-5y=-3 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
6x-15=-3
-5 乘上 3。
6x=12
將 15 加到方程式的兩邊。
x=2
將兩邊同時除以 6。
x=2,y=3
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}