解決{l}{x/2+y/3=13/2}{x/3-frac{y}{4}=frac{3}{2}} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = \frac { 13 } { 2 } } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=9$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3x+2y=39$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4,2 的最小公倍數。

$$4x-3y=18$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+2y=39$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$3x=-2y+39$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+39\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -2y+39。

$$x=-\frac{2}{3}y+13$$

在另一個方程式 4x-3y=18 中以 -\frac{2y}{3}+13 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{2}{3}y+13\right)-3y=18$$

4 乘上 -\frac{2y}{3}+13。

$$-\frac{8}{3}y+52-3y=18$$

將 -\frac{8y}{3} 加到 -3y。

$$-\frac{17}{3}y+52=18$$

從方程式兩邊減去 52。

$$-\frac{17}{3}y=-34$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{17}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=6$$

在 x=-\frac{2}{3}y+13 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{3}\times 6+13$$

-\frac{2}{3} 乘上 6。

$$x=-4+13$$

將 13 加到 -4。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=6$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3x+2y=39$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4,2 的最小公倍數。

$$4x-3y=18$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{4}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 39+\frac{2}{17}\times 18\\\frac{4}{17}\times 39-\frac{3}{17}\times 18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=6$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3x+2y=39$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4,2 的最小公倍數。

$$4x-3y=18$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

讓 3x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 39,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 18$$

化簡。

$$12x+8y=156,12x-9y=54$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+8y=156 減去 12x-9y=54。

$$12x-12x+8y+9y=156-54$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y+9y=156-54$$

將 8y 加到 9y。

$$17y=156-54$$

將 156 加到 -54。

$$17y=102$$

將兩邊同時除以 17。

$$y=6$$

在 4x-3y=18 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-3\times 6=18$$

-3 乘上 6。

$$4x-18=18$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$4x=36$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=6$$