解決{l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

使用代換和二次方程式公式的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4，這是 4,2 的最小公倍數。

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 my。

$$x-my=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

對 x+\left(-m\right)y=1 解出 x，方法為將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+\left(-m\right)y=1$$

從方程式兩邊減去 \left(-m\right)y。

$$x=my+1$$

在另一個方程式 2y^{2}+x^{2}=4 中以 my+1 代入 x在方程式。

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

對 my+1 平方。

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

將 2y^{2} 加到 m^{2}y^{2}。

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

從方程式兩邊減去 4。

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2+1m^{2} 代入 a，將 1\times 1\times 2m 代入 b，以及將 -3 代入 c。

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

對 1\times 1\times 2m 平方。

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-4 乘上 2+1m^{2}。

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-8-4m^{2} 乘上 -3。

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

將 4m^{2} 加到 24+12m^{2}。

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

取 24+16m^{2} 的平方根。

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2 乘上 2+1m^{2}。

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}。 將 -2m 加到 2\sqrt{6+4m^{2}}。

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m+2\sqrt{6+4m^{2}} 除以 4+2m^{2}。

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}。 從 -2m 減去 2\sqrt{6+4m^{2}}。

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m-2\sqrt{6+4m^{2}} 除以 4+2m^{2}。

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

y 有兩種答案: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 和 -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}。在方程式 x=my+1 中以 \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 代入 y 以解出滿足這兩個方程式的 x 結果。

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

m 乘上 \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}。

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

將 m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 加到 1。

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

現在在方程式 x=my+1 中以 -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 代入 y 取得結果，然後找出滿足這兩個方程式的 x 解。

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

m 乘上 -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}。

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

將 m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) 加到 1。

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

現已成功解出系統。

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

解 x、y (復數求解)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$